Mnnoirr siir la théorir des fonctions entières. 37 



Nous devons supposer, bien entendu, qu'à partir d'une certaine valeur de x le second 

 membre de cette équation va constamment en croissant, de sorte iju'elle détermine 

 bien a comme fonction croissante de x. 



Formons maintenant le rapport du terme général 7'^ du développement (38) au 

 maximum ii (.r). (»n trouve 



^=f •'■ \".p,,.)=( ■'■ Vf^'^v-/ •'■ y 



n{x:) \(f(n)l ' ' \(f. (tt)l \(f {n)l ' \(f [a)l 



H,t.;r"(ii;)"->-<'»"^(;^;:!)" 



ou enfin, en tenant compte de l'égalité (42), 



(44) i/(T) = '^ *""' ^'^^"^'. 



C'est par l'étude attentive de ce rapport qu'on arrive aux résultats très précis 

 annoncés ci-dessus, comme nous l'expliquerons aux numéros suivants sur des exemples 

 particuliers. Mais si l'on se contente du degré de précision qu'exige la théorie générale 

 exposée dans ce Mémoire, on pourra procéder plus sommairement, en enfermant la 

 fonction F(x) entre deux limites qu'on aperçoit immédiatement. 



Comme limite inférieure, il suffira de choisir le terme maximum r„, du 

 développement (38) pour la valeur cunsidérée de .r. L'indice «' de ce terme est 

 évidemment égal à l'un des entiers consécutifs entre lesquels est compris le nombre 

 «, ou à ce nombre même, s'il est entier. En désignant par T{x) la fonction conti- 

 nue et croissante qui, pour toute valeur de a;, est égale au terme maximum corres- 

 pondant T,,, nous avons donc cette première inégalité 



(45) F{x) > T{x). 



Pour trouver une limite supérieure de F{x), déterminons d'abord w, par la condition 



X _l 



(p(ni)~ Je ' 



k étant un nombre quelconque supérieur à l'unité, ce qui nous donne 71^ = ip (kx), 

 en désignant toujours par ip la fonction inverse de (f; puis partageons les termes 

 du développement (38) en deux groupes, en écrivant 



F(x) 



Zj\(f{n)) '^ 2^j\(f(n) 



n' étant l'entier positif ijui précède immédiatement le nombre Wi 

 La seconde de ces deux sommes est inférieure à 



