38 Ernst Lindelöf. 



1\" k /1V' + ' k /1\'^<*^^ 



2j(äJ ~/i--l u) ^k^\\-k) 



\\Tcl k~l\l 



expression qui tend vers zéro lorsque .'■ tend vers l'infini. La première somme est 

 inférieure à n' max. ('j-A , et par suite à plus forte raison inférieui-e à ip{k.r)îi{x). 

 D'ailleurs la différence entre cette dernière expi-ession et la somme en question 

 tendra évidemment vers l'infini en même temps que .r. Donc on aura, à partir 

 d'une certaine valeur de x, 

 (46) F{j-)<ip{kj-)S>{x). 



Or, dans les cas oii la fonction y (n) croit d'une manière simple, on constatera 

 immédiatement, que les limites qu'on vient de trouver pour la fonction F(x) sont 

 du même ordre de grandeur, dans le sens indiqué plus haut, et par suite aussi du 

 même ordre que i2 (./•), et on arrivera ainsi à ce résultat que Fix) est du même 

 ordre de grandeur que T(x), ou si l'on veut, que F(x) est du même ordre de gran- 

 deur que Si (x). 



Il est facile de voir ("lue ce dernier résultat est précisément celui auquel 

 conduit la seconde méthode de M Hadamard. En effet, l'équation de la polaire d'un 

 point {x = a, y = «log y- (a)) de la courbe (39) par rapport à la parabole a^ = 2y, s'écrit 



î/ ==«.,•-« log y' («)■ 

 L'enveloppe de cette polaire, qui est précisément la courbe réciproque de (39) par 

 rapport à la dite parabole, s'obtient en éliminant « entre l'équation qu'on vient 

 d'écrire et la suivante, qui s'en déduit en différentiant par rapport à «: 



.,=iog.,(«) + «^:'|^J. 



L'équation de la courbe récipro(iue peut donc s'écrire: 



« étant donné en fonction de .'■ par l'équation qui précède. En remplaçant x par 

 log .«• et en se reportant aux é(iuations (42) et (48), on voit dès lors que l'expression 

 (40) est identique à -Q {x^). 



17. Application de la méthode précédente à un exemple particulier. — 



Après ces indications sommaires sur la méthode générale, nous allons traiter en 

 détail un exemple particulier important, à savoir la fonction 



^w-H^, 



