Mémoire tnir la théorie des fonctions entières. 39 



p ayant une valeur positive iiuelconi|ue. En conservant la notation du numéro 

 précédent, on aura 



(f (n) = nf , i(' {x) = x'', 



les formules (42) et (43) donneront 



« = -'■■', ß(,c) = e«.'', 



et l'égalité i^44) s'écrira, en posant n = cc-\-p, 



J, ^_^±i'|og(, + ^) 



(47) ßl^ = '' ' {n = a+p). 



Pour une valeur donnée quelconque de p, le second membre de cette dernière 

 égalité tend vers l'unité lorstiue « tend vers l'infini. Il s'ensuit que le rapport 

 F (x) : î^i {ji^ tendra vers l'infini en même temps que .r, de sorte qu'on pourra prendre 

 îi{x) au lieu de T{x) comme limite inférieure de Fix). En conservant la limite 

 supérieure (46), on arrive ainsi à cette double inégalité: 



xP x'' 



d'oîi l'on tire la formule asymptotique 



Cette formule renferme le théorème suivant dont nous aurons plus loin à faire 

 usage : 



Si les coefficients d'une série entière (33), h partir d'un certain d'entre eux, véri- 

 fient l'illégalité 



(An)p ' 



A étant une constante positive, on aura, quelque petit que soit s, 



1 + -' p 

 3/(r)<e^"' , 



dès que r dépassera une certaine limite. 



Cherchons maintenant à préciser la formule (48) et reprenons à cet effet 

 l'équation (47). Comme 



W^-H-'M^^îh-jM' 



N:o 1. 



