42 Ernst Lindelöf. 



Dans une première approximation, on en tire 



ep" (logj:)" 



en poussant l'approximation plus loin, on pourrait préciser les facteurs 1 + f {x) qui 

 figurent dans ces expressions, mais nous ne nous y arrêterons pas. 



On constate d'ailleurs immédiatement, comme dans l'exemple précédent, que 

 la fonction donnée est du même ordre de grandeur que ü(x); en désignant par n^, 

 un entier quelconque supérieur à l'unité, on aura donc cette formule asymptotique: 



,51) y ( ^^:_^^i]"= . "i^ (1^^. 



^\[n{\ognf]p) 



L'étude du rapport (44) permet de préciser notablement ce résultat. En effet, 

 on trouve par un calcul facile 



la quantité /i tendant uniformément vers zéro pour •p|<«'(T<l), lors(iue « 

 augmente indéfiniment. En répétant le raisonnement du numéro précédent, on arrive 

 donc à la formule 



(51)' £ fr-^^-^ ' ) = (1 + * (^)) r^^W^ -"- (^) = (1 + s (aO) y- \-:, X^ (log x)~ ^îi {.r) , 

 ^\[n{\ogn) ]p/ '^ ep 



Si{x) étant donné en fonction de x par les équations (50). 



Énonçons encore le théorème suivant, auquel on arrive par une généralisation 

 facile de la formule (51): 



Si les coefficients d'une série entière (33) vérifietit l'inégalité 



^■J2) V\C~\ < P ;^ i^~i^^ 



[An(\ogn) ' • --(log' 'n) ^ \p 



à jxirtir d'un certain indice n, on aura, quelque petit que soit f, 



— ^-^, rf I log r)- "' • • . ( log^"^ r)^ "" 

 (53) M{r)<e^'""'+' 



dès que r dépassera une certaine limite. 

 Soit maintenant la fonction 



yf-^if 



^\(logn)p/ ' 



