Mémoire- sur la théorie des fonctions entières. 43 



qui n'est pas de genre fini. Les équations (42) et (43) s'écrivent 



a i _1_ 



0(x') = e'''''s«, ic = (loga)'" e'''<'s«, 



(i'oÎT l'on tire dans une première approximation 



(>(x) = e 'P 



Cette int"'me expression pourra encore servir à représenter la fonction donnée. 

 L'étude du (luutient (44) conduirait à la formule plus précise 



Comme dernier exemple, considérons la fonction 



q étant un nombre positif inférieur à l'unité. C'est une fonction entière dont l'ordre 

 réel est égal à 0. On trouve de suite, en posant — = ih, 



l02 X "°B^>' 



a = i^-~ , P. {X) = e * '°sî., 



21oggi' 



et l'équation (44) prend la forme suivante très simple: 



T„ ,„_„,> 



nix) = 'i ■ 



En désignant par n' la partie entière du nombre «, et en posant « = w' + r (0 < t < 1) , 

 on a donc identiquement 



(54) '^cî'' x" = e^^"^'^(f"~^^'. 



— «' 



Lorsque x tend vers l'infini, la somme figurant au second membre de (54) 

 tendra vers 



I.'-". 



Désignons par M le maximum et par m le minimum'de cette expression, considérée 

 comme fonction de t. On aura d'ailleurs 



if= 1 + 2 £] if et m = 2'^q^"^ '^ , 



1 u 



(la seconde égalité au moins tant que q sera inférieur à une certaine limite). 



N:o 1. 



