44 Ernst Lindelük. 



Cela posé, l'équation (54) montre qu'on aura, quehiue petit que soit le nombr 

 positif «, d'une part les inégalités 







pour toutes les valeurs positives de x, et 



ce (log.. 



2_^q"' x" XM-e)ei">s 



iiogxT- 



pour des valeurs x dépassant toute hmite donnée, et d'autre part 

 ^q"' x" > (TO-ï)eî'°8î' 



à partir d'une certaine valeur de x, et 



Yq" x" < me*'°sä' 

 u 



pour des valeurs x dépassant toute quantité donnée. 



On peut donc dire, à un certain point de vue, qu'à l'intini la fonction considérée 

 oscille entre deux fonctions à croissance régulière. De telles oscillations se présentent 

 toutes les fois que la fonction y (n) croit plus vite qu'une certaine expression, et elles 

 deviennent plus sensibles à mesure que le degré de croissance de (f{n) augmente. 



En terminant ces applications, nous ferons remarquer qu'il est permis de 

 supprimer, dans les séries considérées ci-dessus, des termes suivant une loi com- 

 portant beaucoup d'arbitraire, sans que les formules asymptotiques (jue nous avons 

 établies cessent d'avoir lieu. Nous nous contenterons de citer comme exemple l'égalité 



qui se déduit immédiatement des calculs de la p. 42. 



19. Relation entre l'ordre de grandeur du module maximum d'une fonc- 

 tion entière et l'ordre de grandeur de ses coefficients. — Soit 



(56) f (x) = Co + c, X + c, x' + h c„ X" + ■■■ 



le développement de Taylor d'une fonction entière, et M{r) le maximum de son 

 module sur le cercle | a-- 1 = r. Pour indiquer l'ordre de grandeur des coefficients c, 

 nous nous servirons des définitions suivantes: 



Nous dirons que KiCi; est d'ordre n"'', si l'on a, quelque petit que soit «, 



T. XXXI. 



