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pour une infinité d'indices n, quelque petit qu'on donne *; la proposition réciproque a 

 également lieu. 



Il existe donc une correspondance très précise entre la grandeur du module 

 maximum M{r) d'une fonction entière et la grandeur de ses coefficients. Nous 

 verrons dans la seconde partie de ce Mémoire, en cherchant à préciser, dans le sens 

 indiqué par la dernière proposition, la relation qui he l'ordre de grandeur de M(r) 

 à la densité des zéros de la fonction, combien ce problème est à la fois plus difficile 

 et plus intéressant que celui que nous venons de résoudre. 



20. Sur la détermination du genre d'une fonction entière donnée par son 

 développement de Taylor. — Toute fonction entière de genre fini ayant un ordre 

 apparent déterminé, nous savons, d'après la première proposition établie à la page 

 précédente, que la racine «'^'"^ du module du n^'"" coefficient dans le développement 

 de Taylor d'une telle fonction aura également un ordre de grandeur déterminé, 

 mesuré par une certaine puissance négative de n. 



n _ \^ 



Soit inversement une série entière (56) oii l'ordre de V\en\ est égal an p , p 

 étant un nombre positif ou nul, et cherchons à déterminer, si possible, le genre et 

 l'ordre réel de la fonction entière représentée par cette série. Nous aurons à 

 distinguer deux cas: 



l:o Le nombre p n'est pas entier. — Dans ce cas la réponse est immédiate. En 



ettét, d'après n" 19, M{r) est d'ordre e^ , et par suite nous pouvons conclure du 

 théorème établi p. 20, que l'ordre réel de la fonction (56) est égal a p et son genre 

 p égal au nombre entier immédiatement inférieur à p. 



2:o p est un entier positif (si p = 0, le genre et l'ordre réel de la fonction (56) 

 sont évidemment tous les deux égaux à zéro). — Le théorème que nous venons de 

 citer montre qu'il y a dans ce cas indétermination relativement au genre p, qui 



peut être égal à /s ou à /> — 1. Si i> = /?— 1, la dernière proposition du n" 15 nous 



^ « 



donne hm w y] c„\ =0, lorsque n tend vers l'infini. Nous en tirons cette conclusion: 



Si y\c„\ est d'ordre n f , p étant un entier positif, et si n'' y'\c„\ ne tend pas 

 vers zéro lorsque n tend vers l'infini, le genre de la fonction (56) est certainement égal a p. 



C'est là le seul résultat relatif au cas où p est entier, qu'on ait obtenu jusqu'à 

 présent. Le théorème du n" 6 nous permettra d'aller plus loin en démontrant cette 

 nouvelle proposition (fti,a2,""- désignent les zéros successifs de la fonction (56)): 



" _ L 



Si y\c„\ est d'ordre n ■" , et si en outre la condition 



