Mémoire sur la th'orie des fonctions entières. 47 



(57) lim n^ y\c^\ = 



est vérifiée, le genre de la fonction (56) est égal h (> — 1 toutes les fois que la série 

 V] — converge, ce qai aura lieu jmr exemple dans les cas où l'on peut trouver un 

 entier v et un nombre a >• 1 tels qu'on ait, pour n suffisamment grand, 



n _ ' 



(58) V\ c„\ < \n log« • • • log'" ~ *' w Clog'"''«)"] '' . 



v^i 1 r 



La démonstration est immédiate. En effet, puisque la série 2j ~ ®^*' ^^P' 

 posée convergente, nous pouvons mettre la fonction donnée sous la forme 



G(x) étant une fonction entière. Or, le théorème du n" 6 nous apprend que, s étant 

 donné aussi petit qu'on voudra, il existe une infinité de cercles ayant l'origine comme 

 centre et de rayons indéfiniment croissants, sur lesquels est vérifiée l'inégalité 



jn^(£,„-,)l>r^', 



et d'autre part le théorème de la p. 39 nous permet de conclure de l'égalité (57) 

 qu'on a 



dès que r dépassera une certaine limite. Sur tous ceux des cercles envisagés dont 

 les rayons dépasseront cette même limite, on aura donc 



ou bien 



partie réelle de G{x) < fr'', 



et par suite, d'après n" 10, nous pouvons affirmer que G {x) se réduit à un polynôme 

 de degré inférieur ou égal à p — l, de sorte que le genre de la fonction fix) est 

 bien égal h p~l. 



La seconde partie de la proposition énoncée ci-dessus est une conséquence 

 immédiate des théorèmes établis p. 42 et p. 21. En effet, en vertu de l'inégalité 

 (58), le premier de ces théorèmes nous donne 



-l_±i ,-/> (loo. ,•)- > . • • ( loa;*" - l' r)- \lo.a;*"' r)"" 

 M{r)< '!'■ 



N:o 1. 



