48 Ernst Lindelöf. 



à partir d'une certaine valeur de r, et nous pouvons donc conclure du second théo- 

 rème que les zéros de la fonction (56) vérifient l'inégalité 



2 

 I aj > (1 — «)[nlogw- • • log"'~"n(log'''''n)"]''' 



à partir d'un certain indice n. Donc, l'inégalité (58) entraine bien la convergence 



1 f 



de la sene > — . 



Le théorème que nous venons de démontrer pourrait facilement suggérer l'idée 

 que la convergence de la série 



(59) t^vwi)', 



jointe à l'hypothèse (57) fournit une condition suffisante, ou même la condition 

 nécessaire et suffisante pour que le genre de la fonction entière (56) ne dépasse 

 pas p—l^). En ce qui concerne la première supposition, nous pouvons dire seulement 

 qu'il paraît peu probable qu'elle soit exacte, pour des raisons que nous expliquerons 

 plus loin. Mais ce qui est certain, et ce que nous démontrerons dans la seconde 

 partie de ce Mémoire, c'est qu'il existe des fonctions entières de genre p—1 

 telles que la série (59) diverge. Le problème de la détermination du genre d'une 

 fonction entière donnée par son développement de Taylor est donc d'une difficulté 

 beaucoup plus grande qu'on ne se l'est imaginé jusqu'à présent. 



') Cf. page 203 du Mémoire de M. Hadamaüd, 



