Mémoire sur In théorie, des /'onctions entières. 51 



22. Application du théorème de Cauchy. — Nous Hommcö donc ramenés à 

 'étude des intégrales définies de la forme 



m /''■o»«"-,-^' 



OÙ — 1<|W<0, et oîi l'on aura v< — 1 si /t = 0, et v> — l si /* = —!, 

 V pouvant avoir, au contraire, une valeur réelle ijuelconque lors(iue fi n'est pas 

 entier. Quant à la limite inférieure a, c'est un nombre positif quelconque, i[\ie nous 

 supposerons seulement supérieur à l'unité. 



Ayant fixé pour la variable x = re^V une valeur telle que — Ä<^<sr, r>ft, 

 traçons de l'origine comme centre deux cercles, l'un C^ de rayon a, l'autre (7^ de 

 rayon E^r; puis découpons l'anneau circulaire compris entre ces cercles du point 

 x = a au point x = B, suivant l'axe réel. Nous désignerons par T le domaine 

 simplement connexe ainsi obtenu, et par S son contour. 



Comme la fonction t'''(\ogtj'' est holomorphe pour tout point du domaine T, 

 et comme d'autre part le point — x est intérieur à ce même domaine, le théorème 

 de Cauchy nous permet d'écrire 



(4) [< " (log tr ~ = 2 «r i (- X)" (log (- x)y , 



l'intégrale étant prise le long du contour S dans le sens direct. 



Dans cette égalité, on choisira pour les logarithmes et pour les puissances 

 leurs déterminations xmncipales, c'est à dire celles qui prennent des valeurs réelles 

 sur l'axe réel positif. 



L'angle ç> étant compris entre — » et +^, comme il été dit, l'argument de la 

 quantité —x sera égal à y + w, de sorte que le second membre de l'égahté ci-dessus 

 s'écrit 



•Isrie''"' X "' (log x + ^i)". 



L'intégrale figurant au premier membre de l'égalité (4) se compose des parties 

 suivantes : 



P l'intégrale relative au cercle C^, qui donne un terme - ; 



2" l'intégrale relative au cercle <7g; comme la fonction ^(iQgff s'annule à 

 l'infini, en vertu des hypothèses admises relativement aux nombres f* et »', cette 

 intégrale tend vers zéro lorsque B tend vers l'infini; 



3" les intégrales relatives à chacun des deux bords de la coupure {a,E); la 

 sonnne de ces intégrales est égale à 

 N:o 1. 



