52 Ernst Lindelöf. 



[ e {(log tr - i''^" (log t + 2^«r ; ^^^, 



expression qui, d'après ce qu'on vient de dire, tendra nécessairement vers une limite 

 finie et déterminée lorsque R tend vers l'infini. 



On voit donc en somme que, pour lim -B = oo , l'égalité (4) prend la forme suivante : 



(5) 1" t ■" ((log O" - <?"'"' (log t + -Isti)") ^--^ = 'Istic'"'' x" (log X + sriy + [^] . 



23. Discussion de l'égalité fournie par le théorème de Cauchy. — Dans la 

 discussion de l'égalité (5), nous aurons à distinguer trois cas: 

 1". — l<j«. <0. Le premier membre de (5) s'écrit 



(i^e^'^'")/(i+MO)^"(iog<r^-^^. 



Comme le module de cette expression, d'après l'égalité dont il s'agit, est d'ordre 



supérieur à —, on trouve facilement (en observant (lu'on a ^rn — i < ts — 



r' V N + ^|-cosf^ + ^ 



pour x=rc'''P\, ([ue la dernière intégrale peut se mettre sous la forme 



(1+M.x))[<"(log0''^-^, 

 de sorte iiue, réduction faite, on obtient la formule 



(6) J t:' (log 0V+— (1 + * W) ^in(,.W -'' (!«« ^^- 



2" (i — O. Le premier membre de l'égalité (5), laquelle est valable dès que 

 v < 0, peut se mettre sous la forme 



- a^iv [ (1 + * (t)) (log t)'"'— = - 2^«'' (1 + « W) I (log t)"-' — - 



En changeant v en 1 — v, on obtient donc la formule 

 F 1 dt 1 + *(*■) 1 



(7) 



./ (logO" ^ + -^ ''-l (log a;)'-'' 

 qui est applicable lorsque »' > 1 . 



3» ji* = — 1 . En développant le premier membre de (5), et en changeant v en 

 »^ + 1 , on trouve 



T. XXXI. 



