Mémoire sur la flx'orie des functium entières. 53 



f (log t)' dt 1 + « (,x) (log X)' "*■ ' 

 *^^ j ~T~ t + x - ~V+l X — ' 



formule valable pour )'> — !. 



Le seul cas qu'il nous reste encore à traiter est donc celui oîi /a, = v = -~ \ . 

 L'intégrale (3) s'écrit alors 



j t logi' ti-x' 



Pour évaluer cette expression, nous partirons de la formule 



riog logj dt _ . log log (— X) 

 j t t + ^:~''^'"' i-x) ' 



le contour S étant choisi comme au n" 22. Lorsque le rayon E du cercle C^ tend 

 vers l'infini, elle devient 



f log log t — log (log t+2}ri) dt _ ^^ . logdog.g + gr?) , T 1 1 

 et, en réduisant les deux membres, on en conclut 



(9) rV-r#=(^+^'-»)^^^^-- 



./ Hog^ ^ + a; ^ ^ X 



24. Expressions asymptotiques des produits considérés au n° 21. — Reve- 

 nons maintenant au produit (1) et à l'expression (2) de sa dérivée logarithmique. 

 En appliquant à cette expression, suivant les valeurs de p et de a, les égalités 

 (6)— (9) du numéro précédent, et en intégrant par rapport à x, nous en déduisons les 

 formules asymptotiques que voici: 



P<p<P + l: 



(«) log f (x) = (- If ^ ^ x" (log X)" " ( 1 + ï (X)) ; 



Ap" sin \st(p—p)\ 



P=p + 1 («>l): 



(^) log /' {X) = (- 1 )" ^— — x'' (log a;)~ " + ' (1 + « Cx')) ; 



A.p (a — 1) 



P = V, «<1: 



•0 log /■ m = (- 1)'' j ^^ ^^ __ ^^ x" (log .X)- " + ' (1 + ï (.XI) ; 



p=p, «= 1: 

 ^'f> log fm = (- 1/ ^ x'' log log X(l+f (X)). 



