54 Ernst Lindelöf. 



Ces formules ') sont applicables tant que l'argument de la vai'ialile x garde 

 une valeur constante quelconque comprise entre ~ st et -\- st . 

 Prenons comme exemple la fonction 



(10) fr(i — ^-x 



On la ramène à la forme (1) en posant ~:i^ = ij, et on pourra alors appliquer la 

 formule («) en y faisant .4 = « = i, 7^ = 0, !> = \y On trouve ainsi, en réintégrant 

 la variable x, 



l = c^'''' 

 Kn log n)- 



le signe — ayant lieu au-dessus, et le signe + au dessous de Taxe réel. Cette expres- 

 sion met en évidence ijue la fonction entière ilO», qui est de genre im, est bien 

 d'ordre e^ (voir p. 19), comme l'a démontré M. Poiniaré. 



ni (wloen)-J 



') Je m'aperçois (juon peut obtenir les forimiles i/ji, U' et u/i par une voie plus élémentaire, 

 que je veux indiciuer rapidement. 



Soit p. ex. p^p. J'observe d'abord ijuon peut trouver une constsmte positive A telle 

 iju'on ait 



pour toute valeur .r dont l'argument ((• est compris entre - irr — tf) ei ^ in - rf] , r] étant un nombre 

 positif donné aussi petit qu'on le voudra. C'est re qu'on trouve par un raisonnement analogue 

 à celui du n" '2. 



Cela posé, déterminons l'entier n' par la condition 



J^ }_ 



[.4 «'(log«')"]'' < '^ < [-i !»'+ r)(log(n'-f 1))"]'\ 



k désignant un nombre positif dont nous disposerons ultérieurement, et écrivons la fonction 

 donnée (1) sous la forme 



'•'^'-P(-I'^')„.n,^(-^;^)' 



L'inégalité (a) nous donne d'abord [r. le calcul de la p. 23): 

 (ß) jlog UE{-~^,py<K\x\''{\os\x\)-"-, 



K étant une quantité positive indépendante de x qui tend vers l'infini en même temps que k. 



D'autre part, comme j — > /t pour w < «', on aura, pour un facteur (juelconque du premier 

 produit ci-dessus, 



T. XXXI. 



