Mémoire sur In théorie des fonctions entières. 55 



25. Généralisations diverses. — Les tbnnules i|ue nous venons d'établir soiiL 

 susceptibles d'être généralisées et précisées de différentes manières. On voit d'abord 

 immédiatement qu'on peut appliquer les considérations qui précèdent aux produits 

 (Il dont les zéros sont donnés par une expression quelconque de la forme 



}_ 

 «„ = \_An (log w)"' dog'"' w)"" • • • dog*"' w)" ■']''. 



Lors(|iie iJ < ,'><i> + 1, nn obtient par exemple 



log fix) = (— 1)'' p = t'' (log x)~"' dog'^' ;/■)" "' • • ■ dog*"' xr"'\ 



^/o"sin [st {p~p)\ 



Mais voici une remarque plus importante. Nous avons déduit les formules en 

 question de l'égalité (5), en y réduisant les deux membres à leurs parties principales. 

 Développons maintenant, dans cette même égalité, les expressions {[ogt^2sri)" et 

 (loga; + sri)" resp. suivant les puissances descendantes de logi et de log«; en divi- 

 sant par 2}iie'''~\ puis en égalant des deux côtés les termes dont les coefficients 

 sont réels, nous obtenons ainsi, dans le cas oîi fi n'est pas entier, une équation dont 

 les premiers termes s'écrivent 



d'où il suit 



(y) 



Ol' ou a 



i'(-Ü"^-i^/ "■' 



s (log n)" 

 et cette dernière expression peut se mettre sous la forme 



-^ rd0g.T) ' ou r- - log log .T , 



4 (1 - «) p"- A ■ 



suivant qu'on a « < 1 , ou « = 1 . 



En prenant d'abord le nombre A: très grand, de sorte que, dans l'égalité ij), la quantité £ (/•) 

 soit très petite, et en donnant ensuite à x \ une valeur assez grande pour que l'expression (ß) 

 soit très petite par rapport au module de l'expression (y), on voit bien qu'on retrouve les for- 

 mules (cl et ((/) du texte. 

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