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En remplaçant dans cette égalité, le nombi'e v successivement par »'— i, r — 2, • • -, 

 v — n, et en résolvant toutes ces équations par rapport à l'intégrale qui figure au 

 premier terme de l'équation écrite ci dessus, nous trouvons pour cette intégrale un 

 développement asymptotique de la forme 



(11)/' t" (log t)' ~ = . ^ "^, ,^ .t" (logx)" (i + -^ + -A^ + • • • + ^^ (1 + s (x))\ , 

 J "^ t+x smifi+l)^ *^ I logx (logiO^ (log;c) ) 



oîi Al, A^r ■• désignent des constantes faciles à calculer. On aura p. ex. 



p ^p — 1) 



Ai = — vsrcotgfi}r, ^2= — ö '^^ (^ + 2 cotgV^) , •• ' 



Dans cette formule l'entier n peut être pris aussi grand qu'on le voudra, et le 

 symbole six) a la signification indiquée p. 50. 



A l'aide de la formule (11) et des formules analogues qu'on obtient dans les 

 cas où fi est égal à ou à — 1, on peut évidemment préciser beaucoup les résul- 

 tats du n" 24. Soit comme exemple la fonction suivante de genre 0: 



/•r..) = n(i+fj, 

 où 



a„ = [^n(log>i + |ïloglogn + log-B)'']'' (/><1). 



En remplaçant d'abord la dérivée logarithmique par une intégrale définie (par le 

 même calcul qu'au n» 21, mais en poussant l'approximation un peu plus loin), puis 

 en appliquant la formule (11), on trouve pour cette fonction la formule asymptotique: 



log /■(..) = ^ x^f lo^gx Lil+s m 



Af>'"sm^p{\ogx)''y log a? log. t j' 



où 



7^ = — (« — (?) , L = - hcc — ß) log p + ^p cotg i^p + log v^l , 



(log log .î-')^ 



six) étant de 1 ordre de — -. — --- - ■ 

 log .'■ 



26. Expressions asymptotiques de certaines intégrales définies. — Nous 

 aurons besoin dans la suite d'une expression asymptoti(iue de l'intégrale 



(12) /^''<'ogif)"^q~^ 



pour les grandes valeurs positives de E, les nombres ;tt et v étant assujettis aux 

 conditions énoncées au début du n" 22. A cet effet, nous partirons de l'égalité 

 suivante, qu'on vérifie de suite en différentiant: 



T. XXXI. 



