Mihnoirr. s-ur la théorie ffe.s foncfion.s entières. 57 



j a + xf+^ ' f/+k + lj it + x^'-^ 



(log tf 





Écrivons cette égalité en donnant à l successivement les valeurs 0, l,2,---,n— 1, 

 puis ajoutons les équations obtenues après les avoir multipliées respectivement par 



1 1 ■2^ 1- 2- ••(n-1) 



>, + 1 ' (,"• + 1) (;«■ + 2) ' ' (iJ + l)ifi' + 2)---(iJ.+n-l)' 



11 en résulte pour l'intégrale (12) l'expression que voici: 



,13, rpZ:^!aog^.f „."_ fp^M^"^/+ _„A:2.^_ p''+^k)g^"^, 



L ffJ. + l)it + X)l IJ.+ \J t + X ^,^ + l|...,/^.+M) J U + xf ' 



où P désigne la somme suivante: 



p_, ,_j_/ L\ , L^ (A \\ i-2---(n- i) / t y- 



'^ fi + 2\t-\- x) "^ (f*. + 2) iiii + -à)\t + x) "^ '^{f^. + 2)---(iJ. + n) \t + x) " 

 (^r on a, en supposant x réel et positif, 



inégalité qui montre que le dernier terme do l'expression (18), pour j>0. tend 

 vers zéro loi'sque n tend vers l'infini. Donc, en désignant commo d'haliitude par 

 F(c(, ß,Y,.i;) la série lij'-pergéométrique 



et en faisant tendre n vers l'infini dans l'expression (13), nous obtenons enfin poni- 

 l'intégrale (12) cette égalité: 



Comme la. fonction représentéi^ par la série (14) n'a d'autres points singuliers 

 ipie 1 , X' et 0, régaiilé ([ue nous venons d'écrire, malgré la restriction imposée; 

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