CHAPITRE y. 



APPLICATION OES RÉSULTATS DU CHAPITRE PRÉCÉllENT A LA THÉORIE 

 GÉNÉRALE DBS FONCTIONS ENTIÈRES. 



27. Recherche d'une liiTiite supérieure précise du module maximum d'une 

 fonction entière, étant donnée une limite inférieure des modules de ses géros. 



— Considérons une fonction entière canoniiiue dont les zéros sont assujettis à la 



seule condition: 



i_ 

 (18) ; «„ I > ffl («) = [n (log nf] '' , 



et proposons-nous d'évaluer une limite supérieure aussi précise que possible de son 

 module maximum M{r). 



La solution de ce problème est immédiate dans le cas d'une fonction de genre 

 zéro. En effet, on aura alors 



^^('■)-=n(^+7r;^ 



et, d'après les formules du n" 24, cette inégalité s'écrit: 



■-^-^-'^^-/■/'(logrr" 

 !/(»•)< e r"- ""''■'' 



lorsque p est inférieur à l'unité, et, pour /> = 1 : 



j./„.)<.^'<'°«"-"'. 



Ces limites sont d'ailleurs bien précises, puisqu'elles sont respectivement 

 atteintes pour les fonctions 



n)i_j. ._ •^': il Qi TT I !_!___ __■'■_ 

 I [w(logw)"J"^j Al| n(logw) 



