60 Ernst Lindelöf. 



Pour les fonctions de genre supérieur à zéro, la solution du problème dont il 

 s'agit est bien plus compliquée. Aussi nous bornerons nous ici aux fonctions de 

 ^enre un: 



(19) fix): 



■n!(' 



Cherchons d'abord le maximum du module de l'expression 

 E(u. Il =; {\ ^ m e" 

 sur kl circonférence décrite de l'origine comme centre avec un i-ayon arljitraire p. 

 En posant u = ()e^, on trouve 



E (M , ] I ' = J/ 1 — 2 /) cos ip + p^e' 

 et, en égalant à, zéro la dérivée de cette expression par rapport à »/', il vient: 



sm ip {f> — 2 cos xp) = 0, 

 éiiuatlon (lui admet les racines ip = 0,ip = :r et ip = arc cos ^ , dont la dernière n'est 

 réelle que tant que p<2. 



Une discussion facile montre (lue le maximum cherché correspond à la racine 



41 = lorsque />>2, et à la racine i/' = arccos;^ lorsque /><2. et que sa valeur 



est dans le premier cas égale à (/> — 1 1 p', et dans le second cas à e 2 . 



11 s'agit maintenant de disposer les zéros a^ conformément à la condition 

 (18), de telle sorte que pour une valeur donnée de a;, que nous supposerons d'ailleurs 

 réelle et positive, le module de la fonction (19) soit aussi grand »lue possible. 



Posons /( = ''-- =ne^ , d'où il suit p = r—,. Comme le maximum de |^(m, 1)1 

 «„ l«„l 



sur le cercle \u\ = f> est une fonction croissante de p, on voit d'abord qu'il faudra 



rendre les modules des zéros aussi petits que possible, condition qu'on réalise en 



faisant \a^\ = a{n) pour tout indice n. D'autre part, il suit de la discussion qui 



précède que, lorsque p~>2, c'est à dire pour les indices w tels que |a„i r,; nini < ;y 



on doit prendre ip = ei par suite a„ réel et positif, tandis que, pour /><2 ou 



a(n)'^^, on doit choisir l'angle (// de telle sorte qu'on ait p = 2 co'è ipiow bien 



I a j cos t// = ^ , égahté qui exprime, en langage géométrique, que le point rt ^ est 



situé sur la perpendiculaire à l'axe réel passant par le point -^. 



T. XXXI. 



