62 Ernst Lindelöf. 



Hb en particulier, pour n =-■<■■ 



Les inégalités (21) nous donnent d'abord 

 2n' = 



expression (lui représentera également le premier terme du second membre de 

 l'égalité ci-dessus. 



D'autre part, en procédant comme au n" 21, nous pouiM-ons meLt,ru la dérivée 

 logarithmiijue du produit Fiy) sous la forme: 



F (y) ^«-^ -'j,,. "^ y- 1 



D'apri's n" 26, l'intégrale définie qui figure dans cette expression peut s'écrire: 



(.-iv))fS^i;^/-^üog,r" 



si p est supérieur à im, et pour />=1: 



-~Jp !/" ' (log i/r "■ "^ ' ou (1 + * (//)) y ' ' log log // , 



suivant (lu'on a «< 1 ou a = \, et par suite l'intégrale I y/,f,'''.'/ devient, dans le 

 ])remier cas: 



et dans les deux derniers cas respectivement 



^i-^' ■'■ Uog ^) ~ " + ^ et (1 + f (./■)) ./• log log .c . 

 En réunissant tous ces résultats, on ti'ouve (jue l'expression (20), suivant les 

 valeurs de /> et de «, peut se mettre sous Tune ou l'autre des formes suivantes: 



^ ^" ' pour p = 2, («> 1) , 



i-a pour /> = 1 , a < 1 , 



^ (1 + ë {x)) X log log .- 



pour /) = 1 , « = 1 . 



