Mcmoi.rc sur la fltraric des foncfinns cnfii'res. fiS 



Dans la preinit;fe oxpre.ssion on a écrit, pour abréger, 



Ces mêmes expressions donnent, lorsqu'on y remplace x par r, des limites 

 supérieures pour le module maximum M(r) d'une fonction entière quelconque de 

 genre un dont les zéros vérifient la condition (18). Et ces limites sont bien pré- 

 cises, c'est à dire que, en supposant p. ex. l<C/0<2, on pourra disposer les zéros 

 rt„ conformément à la condition (18), de telle sorte que l'inégalité 



M(.)>.'^-^^'-''*'°S^^-" 



sera vérifiée pour des valeurs r indéfiniment croissantes, quelque petit que soit le 

 nombre positif s. 



28. Retour sur les inégalités fournies par le théorème de M. Jensen. — 

 Étant donnée une fonction entière quelconque /'(*■) dont le module maximum Mir) 

 est assujetti à la condition 

 (23) iW(r)<p'-''lO"'-)" 



à partir d'une certaine valeur de r, nous savons, d'après n"** 9 et 12. que les zéros 

 de cette fonction vérifient l'inégalité 



(24) y \ «i ttj • • • a^î >■ ( 1 — *,) M^ n (log n) "' '■' , 

 et par suite aussi, à plus forte raison, l'inégalité 



(25) 1 «„ ! > <1 ~ ** [f *^ "og »**~ "l'^ ' 



dès que l'indice n dépassera une certaine limite, (juelque petit que soit le nombre 

 positif *. 



Il n'est pas sans intérêt de faire voir que l'inégalité (25), bien qu'elle ait été 

 obtenue par des approximations en apparence assez grossières, n'en est pas moins 

 la plus précise qu'on puisse assigner, tant qu'on ne fait sur la fonction /'(.r) 

 d'autres hypothèses que celle exprimée par l'inégalité (23). Il nous suffira évidem- 

 ment de montrer qu'on peut former une fonction entière telle qu'on ait d'une part 



(2(5) ff^_ <r'j /M log »)""]■" 



pour une infinité d'indices n, et d'autre part, quelque petit que soit *, 

 (27) ilflrXc-^^ + ^:"'"^'""'''" 



pour les valeurs suffisanmient grandes de r. 

 M:o 1. 



