64 Ernst Lindelöf. 



Choisissons une suite indéfinie de nombres entiers positifs Wj, Wj, W3, • • • , tels 

 qu'on ait 



<28) }™ [l^ =£/'■]= =°' 



et posons 



(29) -^"^i'; "v (log »'„)""]'" (i'= 1,2,- • •). 



Nous allons démontrer que la fonction entière 



satisfoit aux conditions énoncées tout à l'heure. 



En posant ^■,^ = ^w,., nous avons d'abord, pour r suffisamment grand, 



i «<•„ i = ^.. ~ [f " «„ (log nj' "Y < [^"~ ' ^', (log /;)~ "T^~, 



ce ijui jtrouve que la condition (2(5) est bien vérifiée pour une infinité de valeurs 

 do l'indice n. 



Soit maintenant E^<Cr<CE^^^, et écrivons M(r) sous la forme: 



^".-(n|.+(i.,ri)-(.+(;r)-(ni'+(«,ri)- 



Le premier produit du second membre est inférieur à r ' si l'on a pris v et ])ar 

 suite r suffisamment grand. Or l'hypothèse (28) nous permet d'écrire ^n.= 



n 

 t(»')i , et d'autre part l'égalité (29) nous donne 



-—^ = (1 + f ('')) e R^ (log R.)" "" ' < (1 + f (>')) 0. r' i log rf ~ ' , 

 do sorte qu'il vient, pour r^R^, 



Le dernier fiicteur de Mir) vérifie, pour /■ < -B^ ^^ , . l'inégalité 



T. XXXI. 



