Mi'moiri' sur In fhi'orir. des fonctions enficr 



Ill' + i 



i,ri<^î(-(fer")(.^(fe:r^i-j. 



dont le second membre tend rapidement vers 2 lorsque v augmente. 

 Reste le second facteur de M{r). En l'écrivant: 

 /r \>h 11, (r)r'' {log rf 



on trouve, par un calcul facile, que l'expression 



W (r) = i 



r^ (log rf 



1 

 atteint son maximum pour r = {l+£ir))e'f'R^, et que ce maximum est égal à 



1+5 {i>) ny 



ep~ RU\ogES ' 



expression qui, en vertu de l'égalité (29), se réduit simplement à l+«(v). 



Nous arrivons donc à ce résultat qu'on a 



pour R^ <C I <i R, ui, et que par suite l'inégalité (27) est vérifiée à partir d'une 

 certaine valeur de r, quelque petit que soit *. 



11 est donc prouvé que, dans les conditions où nous nous sommes placés, la 

 limite (25) est liien la plus précise qu'on puisse assigner. 



29. Suite de la discussion précédente; cas où les zéros sont assujettis à 

 certaines inégalités. — Soit encore f{x) une fonction entière dont le module maxi- 

 mum est assujetti à la condition (23); mais supposons en outre qu'on sache que les 

 zéros de cette fonction, à partir d'un certain indice «o? vérifient les inégalités 



1 1 



(30) [a n (log nr "] •" < ', a„ \ < \B n dog n)~ "] '' , 



A et B étant deux constantes positives. Nous allons voir que, dans ces conditions, 

 on peut, de l'inégalité (24), en tirer une autre qui est plus précise que l'inégalité (25). 



Après avoir fixé l'indice w>Wo et d'ailleui-s aussi grand qu'on voudr;i, déter- 

 minons le nombre n' par la condition 



An dogn)"'" = B)i' dos< «')"^", 



