Mnnohr sur la théorie des fonctmis entières. 67 



est. vérifiée puur les valeurs r dépassant une certaine limite, k désignant un nombre 

 positif inférieur à l'unité. Il suit en ettét du théorème du n" 14 qu'il est possible, 

 dans ces conditions, de trouver un nombre positif B tel (lue la seconde des inégalités 

 (30) soit vérifiée à partir d'un certain indice n, et, pour (lue la première de ces iné- 

 galités subsiste, nous n'avons, d'après (25), qu'à poser 



e 

 s étant un nombre positif arbitrairement petit. 



Le nombre ß une fois déterminé, l'inégalité (31 1 nous donne 



i a„ i > [Ai n (log M)" "] ■" , 

 avec 



-il = Äofi G' = e^ ) . 



Nous en concluons, en appliquant encore une fois le résultat démontré ci-dessus, 



i_ 

 \a„\ > [A.^n [log n)~ "Y, 

 où 



A^ = a-i) e* -^-"" ' = A„e^°^ = Aofif". 



On verrait de même que dans l'inégalité qui précède, on peut remplacer A^ 

 par la constante ^3 = ^01«.'' , et ainsi de suite. Or l'expression 



(32) //,"' , 



lorsqu'on y fait croître indéfiniment le nombre des exposants superposés, converge 

 vers la plus petite racine positive de l'équation x = ii\ et nous arrivons par suite 

 au résultat que voici: 



Si la condition (23) est vérifiée, et si Von a en même temps, ä partir cV un certain 



indice n, 



j_ 



(33i \a„\ <[5n(logn)~"]\ 



B étant une constante positive, on pourra remplacer l'inégalité (25) par la suivante: 



a„i > (1 — i-i w '" /MlogH 



N:o 



