(iS Ernst Lindelöf. 



ok O) désigne la plus petite racine positive de l'équation 



Noua avons admis sans démonstration que l'expression (32) tend vers une 

 limite finie lorsque le nombre des exposants fi superposés augmente, et il est évident 

 (lu'il en est ainsi puisque, dans le cas contraire, notre raisonnement conduirait à 

 une absurdité. Mais d'autre part on voit facilement que la convergence de l'expres- 

 sion en question n'a lieu que tant qu'on aura i^<e" , condition qui s'écrit dans le 

 cas actuel i?>eJ-o, ou encore, puis(iue le nombre « peut être pris arbitrairement 

 petit, i? >/)"-'. Nous arrivons donc à ce résultat que, dans l'hypothèse (23), 

 l'inégahté (33) ne saurait être vérifiée pour toutes les valeurs n dépassant une 

 certaine limite, si l'on a B<Zp''~^; en d'autres termes: 



Si le module maximum M{r) d'une fonction entière vérifie la condition 



(23) JI/I.X/'^'"^'''"' 



'a partir d'une certnine valeur de r, on aura pour une infinité d'indices w, 



(34) I a„ I >( I - ê) [/)" - ' n (log n)~ "] " , 



quelque petit que soit le nombre positif e. 



C'est là encore un résultat bien précis. Nous allons voir, en ettet, (lu'étant 

 donné un nombre positif a arbitrairement petit, on peut former une fonction entière 

 telle qu'on ait, à partir d'un certain indice n, 



(35) |««|< [d + ffi/j^-indognn"]", 



et qu'en même temps l'inégalité (23) subsiste pour les valeurs r suffisamment grandes. 

 A cet effet, considérons le produit 



^''^ f^^^Ui' + icUn 



a (n) = [(1 + a') [f- - ^ hn (log n) "] ■" , 



ff' étant un nombre positif inférieur à a, et k un entier positif supérieur à p et 

 d'ailleurs aussi grand qu'on le voudra. 



On vérifie d'abord immédiatement que l'inégalité (35) a lieu à partir d'une 

 valeur finie de n, quelque grand qu'on ait choisi l'entier k. D'autre part la formule 



T. XXXI. 



