Mi'tiwifc fnr In fhronr des fonctions cnfières. 69 



de la p. 53 nous donne, en changeant ct^ri^r resp. en — «, ' ,r', et en faisant 



p = (ô, A = a +0')fc/>" 



+ J(X) TT). 



f(x) = e "'"^'^' 



Comme le produit "f*- , tend vers l'unité lorsque k tend vei's rintini, on voit 



donc que l'inégalité (23) subsiste à partir d'une certaine valeur de r, si l'on a pris 

 l'entier h suffisamment grand, et que par suite la fonction (36) répond bien aux 

 conditions requises. 



30. Suite de la discussion précédente; cas d'une fonction de genre dont 

 les zéros sont réels et de même signe. — Considérons une fonction entière de 

 genre zéro 



dont les zéros sont tous réels et de même signe, p. ex. tous positifs, cas auquel cm a 



Dans ces conditions, on pourra encore, à l'inégalité (25), en sulistituer une autre (|ui 

 est plus précise. 



A cet effet, nous aurons d'abord à résoudre la (piestion suivante. l'osons 



on demande quel est la plus petite valeur que puisse atteindre la limite supérieure pour 

 r=Qoi) de l'expression ip(r), lorsque les zéros sont assujettis à la seule condition de 



vérifier l'inégalité 



i 



a„ < [a n (log nr "'] '' 

 pour une infinité d'indices n {d'ailleurs quelconques). 



n étant un indice quelconque pour lequel est vérifiée l'inégalité ci-dessus, posons 



[An({ogn)~"\' =B, d'où n = ^^' B" (log E)" (l+t(Å')). 



') Pour la teiuiinologie, voir .1. Haiia.maiü): Euxai «»c l'étude cks fimcUimn doiittccs par leur 

 développement de Taylor, p. 5. 

 N:o 1. 



