70 Ernst Lindelöf. 



Oll au)-a évidemnieiit, pour toutes les valeurs de r, 



et pur suite 



'■' (lüg *■) 

 En cherchant le maximum de cette dernière expression, on trouve la condition 



d'oLi il suit r = TR{\ +f{B)), t désignant la racine positive de l'équation 



(37) (]+ljiüg(i+a,.) = i. 



Le maximum cherché devient donc, en tenant compte de la relation entre n et E, 



et par suite nous arrivons à cette conclusion que, dans les conditions indiquées 

 ci-dessus, la limite supérieure de ip (r) pour r = oo ne saurait être inférieure à 



- ^— 1 , ,.■ Mais d'autre part on voit facilement, par un raisonnement analogue à 

 celui du n" 28, qu'on peut disposer les zéros a„, conformément aux conditions vou- 

 lues, de telle sorte (|u'on ait, à partir d'une valeur unie de r, 



'Mr)<(l+.)''^'^, 



quelque petit que soit le nombre positif «. Donc la lüus petite valeur que puisse 

 acquérir la limite supérieure pour r = cc de l'expression ip (r) est précisément égale à 



A \+T 



De ce résultat nous pouvons conclure immédiatement la i)roposition suivante: 

 Étant donnée une fonction entière de genre doyit le module maximum vérifie 



l'inégalité 



M{r) 



rMogr)" 



à partir d'une certaine valeur de r, si l'on sait que les zéros de cette fonction sont 

 tous réels et de même signe, on aura pour n suffisamment grand, quelque petit que 

 soit le noiidire positif t, 



