Mi'DioiiT sur In throric- flrs fnncfinns niüvrra. 71 



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 (38) , n„ >(1 - .) I //' ' ['^ 1^ n (log nV " |" , 



T désignant la racine positive de l'éqvation (37). 



Il suit d'ailleurs de notre raisonnement que l'inégalité (38) est la plus précise 



qu'on puisse établir dans les conditions que nous venons d'indiquer. 



On passe de l'inégalité (25) à l'inégalité (38) en remplaçant, à l'intérieur de la 



1 x^-" 



parenthèse, le facteur - par l'expression .-— -. Une discussion facile montre que 



cette expression croît en même temps que />, et qu'elle tend vers - lorsque f tend 

 vers et vers l'unité lorsque /> tend vers 1, de sorte qu'elle est Inen toujours su- 

 périeure à - . Ainsi, pour f> = l, l'inégalité (88) s'écrit sim'plement 



\a„i >{l - ^)[n {log nr"]". 



1 t:' "^* 1 



Pour /' = T7, on trouve -rT~ = ^ 



31. Résumé des résultats précédents; application à la fonction 'S (f) de Rie- 

 mann. — Influence des arguments des zéros sur la croissance de la fonction. 



— Soit une fonction entière dont le module maximum est d'ordre e' ' ' '^^ ' ' en ce 

 sens qu'on a, quelque petit que soit le nombre positif e. 



ilflrXe*- *''' *°"'' à partir d'une valeur finie de r, 

 et d'autre part 



M(f)>e^ "^ ^ '°^' pour des valeurs /■ indéfiniment croissantes. 

 Dans ces conditions on aura d'abord: 



a,_ XI — *) ' y- Hdogwi "'" a partir duo certain indice », 

 d'après l'inégalité générale fournie par le théorème de M. Jensen, (v. n" 28), et 



I «„ 1 >(1 — «)M^— w dog^r" l" pour une infinité d'indices n, 

 d'après le théorème de la p. 68. 



D'autre part, si p n'est pas entier, on pourra trouver une constante positive 

 / telle qu'on ait, ([uelque petit i|ue soit s, 



rt,^ 'jl -\- 1)\ '' «(lugw)^" ■' pour une infiniti- d'indices «, 



