72 Ernst Lindelöf. 



et le raisonnement du n" 27 prouve que la plus petite valeur qu'on puisse donner 

 à A, lorsqu'on exige que ce résultat subsiste pour toute fonction qui vérifie les 

 conditions énoncées ci-dessus, est 



et 



Lorsque p est entier et « différent de zéro, la dernière inégalité ci-dessus sera 

 remplacée par une autre de la forme 



I a,J < (1 + *)|-jw (log n)~"^' •" pour une infinité d'indices n, 



P étant une constante positive à laquelle on pourra donner la valeur 



En fait, nous n'avons démontré ce résultat que pour p=l, et pour ,« = 2,«<0; 

 mais il est probable qu'il est général. 



Soit comme exemple la fonction de Riemann: 



?(^) = is(s-i)^-ïr(|)C(.s) (., = ! + ?:;). 



On sait que c'est une fonction entière et une fonction paire de t. Soient < = +«], 

 + «2 ■•••» + «„,•• * ses zéros, rangés par ordre de modules croissants. 



En remarquant que la fonction t (s) tend vers l'unité lorsque la partie réelle de 

 s augmente indéfiniment et qu'elle croît moins vite qu'une certaine puissance de s 

 dans toute bande parallèle à l'axe imaginaire, et en appliquant auf acteur -^(^) la 



formule de Stirling, on trouve ((ue le module maximum île '^(t) peut se mettre 

 snus la forme 



^Lti(L'lV,iog|i, 



Posons S{t) = F{f^), f^ = x, \x\ = r. La fonction entière Fur> aura pour zéros 

 les points x = oj', «;-;, ...,«;■;.... ^ et son module maximum s'écrira 



(39) l/(n = e~"T-' ''''"'"-'■. 



Dès lors, en faisant dans les inégalités écrites plus haut .4 = . , f> = ^, « = 1) 

 nous trouvons: 



