}[étnoire sur la théorie des fonctions entières. 73 



a„|>;(l — *) — ^ à partir d'un certain indice n; 



a XI — ï) 4-, pour une infinité d'indices n; 



En tenant compte de ce que les parties imaginaires des zéros «„ sont toutes 

 comprises entre des limites finies ( — — et + -^\, on conclut d'ailleurs facilement du 

 résultat du n" 30 ([ue, dans la pi-emière des inégalités précédentes, on peut rem- 

 placer le facteur numérique - par -, • 



' e "^ 2,4852 •• 



Enfin, le théorème du n» U permet de conclure de l'égalité (39) que le rapport 



a i : -, reste inférieur à une quantité finie lorsque n augmente. 



« log w 



On peut présenter les résultats rappelés plus haut sous une autre forme, qui 

 met en évidence l'infiuence qu'exercent les arguments des zéros d'une fonction entière 

 sur la croissance de son module maximum. 



Fixons les modules des zéros d'une fonction canonique de telle sorte qu'on ait 



(40) I a^ I = (1 + f (M)) [n (log wi~ "J f ; 



il s'agit de trouver, pour le module maximum de cette fonction, des limites supérieure 

 et inférieure qui soient valables de quelque manière qu'on dispose les arguments 

 des zéros, et qui soient en même temps aussi précises que possible. 



Il suit d'abord du n" 27 qu'on aura 



Alir) < e^^ "^ ' ^'''* ''■ '"" ''°^' ''^" si /> n'est pas entier, 

 A ayant la même signification qu'à la p. 72, et 



Mir) < e<^ +^ "•" "' '■' <'°8-'-)'"" ' si p est entier, 



fi' étant égal à -, — ^^'i (^^^ moins si /?=1 ou /> = 2, «< — !), et que ces limites 

 sont les plus précises q'on puisse assigner. 



