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D'autre part je dis qu'on aura, quehiue petit que soit «, 



(41) M(r)>e^l-^^^'"~''"''^°S'->" 



pour les valeurs suffisamment grandes de r. 



En eflfet, s'il n'en était pas ainsi, on pourrait trouver un nombre positif a tel 

 qu'on eût, pour une infinité de valeurs r indéfiniment croissantes, 



Or, si l'on suppose réalisée cette dernière hypothèse, on est conduit, par .un rai- 

 sonnement analogue à celui de la p. 30, à ce résultat que l'inégalité 



Fiaißa-- •«„ >(1 -*HwT 



a lieu pour une infinité d'indices n, et comme dans le cas actuel les conditions (30) 

 du n" 29 sont vérifiées à partir d'une certaine valeur de n, lorsqu'on y fait J.= 1 — s, 

 B = \-\-s, on peut en conclure, d'après le calcul de la p. 66, que l'inégalité 



1 



subsiste pour une infinité d'indices m, quelque petit que soit «. 



Cette conclusion étant en contradiction avec l'hypothèse (40), notre proposition 

 est donc exacte. L'exemple de la p. 68 montre d'ailleurs que la limite (41) est 

 bien précise. 



32. Aperçus sur un problème important relatif aux fonctions à croissance 

 régulière. — Soit une fonction entière dont le module maximum peut se mettre 

 sous la forme 



(l + f(r))4r"(lo,a;>-)« 



(42) M(r) = e , 



ft étant un nombre positif non entier, et « (r) désignant, comme toujours, une quan- 

 tité qui tend vers zéro lorsque r tend vers l'infini. 



Le théorème du n" 14 nous apprend que, dans ces conditions, la valeur du 

 rapport 



(43) a„' ■.[ndogn)-"]" 



demeure comprise entre deux limites finies et positives, à partir d'un certain indice 

 n. Mais il reste à calculer effectivement ces limites et à les resserrer autant que 

 possible. En termes plus précis, on peut se proposer de trouver le plus petit 



T. XXXI. 



