Mémoire sur la théorie des fonctions entières. 75 



nombre positif a tel que, pour toute fonction entière dont le module maximum peut 

 se mettre sous la forme (42), l'inégalité 



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(44) 



soit vérifiée à partir d'une valeur finie de n, quelque petit que soit le nombre 

 positif s; et un problème analogue se pose relativement à la limite inférieure du 

 rapport (43). 



Le peu de temps que nous avons pu y consacrer, ne nous a pas permis de 

 trouver la solution définitive de ces questions, qui semblent d'ailleurs présenter des 

 difficultés considérables. Aussi nous bornerons nous ici à quelques remarques som- 

 maires, servant à préciser les calculs et les raisonnements du n" 14, auxquels 

 nous renvoyons le lecteur. 



Nous ferons d'abord observer qu'en vertu du théorème de la p. 67, on peut 

 conclure de (44) cette autre inégalité: 



i rt„ j >(1 - *) ^M '' ,^-- n (log n) "j '' , 



qui sera également vérifiée à partir d'une valeur finie de n, quelque petit que soit 

 f, et où M désigne la plus petite racine positive de l'équation 



D'autre part, lors([ue le genre de la fonction donnée est égal à zéro ou à m«, 

 les résultats des n"' 26 et 27 permettront de préciser les limites supérieures adop- 

 tées au n" 14 pour les différents produits qu'on a été amené à y envisager {v. la 

 première formule de la p. 32). 



Ainsi, dans le cas du genre zéro, on est conduit à chercher des expressions 

 asymptotiques, pour les grandes valeurs de «', des produits 



nll , _^__ il et n'l4- - •' 



„„ I [xlndogn)-"}^! -l,+ l [Andogn)-"]")' 



où A désigne une constante positive et où la variable x prend des valeur.s réelles 

 et positives du même ordre de grandeur que la quantité 



R = [.4 n' (log n') 



de sorte que le rapport t^ -„ reste fini. 



N:o 1. 



