76 Ernst Lindelöf. 



Afin d'évaluer le premier de ces produits, considérons l'expression 



où l'entier n", pour une valeur donnée quelconque de y, se détermine par les 



inégalités a{n")<- <«(n" + l), et faisons croître y d'une manière continue depuis 



la valeur yo = ra(na) jusqu'à la valeur donnée de .c. L'expression log F (y) ira 

 constamment en croissant et augmentera brusquement de la quantité log (1 + ^) 



chaque fois que — passera par une valeur a{n). Donc le logarithme du produit en 



T 



question pourra se mettre sous la forme: 



(n' - n„ + 1, log (1 + r) + j ^^^-^^^ dy . 

 y» 

 Or le calcul du n" 21 nous donne 



et, d'après la formule (15) de la p. 58, cette dernière expression est égale à 

 ï 'f T7 -^(' •'' ^ +'' 1+ r) •'/'"' ' ^'"° ■'/*"' ^^ + * '^'^ ■ 



Comme d'ailleui 



nous obtenons donc, en réunissant tous ces résultats, la formule asymptotique 

 suivante : 



nJl I ^ il 

 „„ 1 [.1 n (log nr"]"! 



^^- {p log (.1 + D + j--j-^ F (1 . 1 . /, + 1 , j-| ^)\ E" (log E)" (1 + ï (E)) , 



A 



OÙ T et E ont la même signilication que ci-dessus. 



En se servant de la formule (a) du n» 24, on peut tirer aussi du résultat que 

 nous venons d'établir une expression asymptotique pour le second des produits 



envisagés plus haut. 



T. XXXI. 



