Mémoire sur In théorie rlea fonctions entières. 



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33. Remarque sur le genre de la somme de deux fonctions entières. — 

 Conclusions générales. — Dès l'introduction de la notion du genre d'une fonction 

 entière, on a été conduit tout naturellement à se demander si cette notion se con- 

 serve dans la diflerentiation et dans l'addition, ou, en termes plus précis, si les 

 théorèmes suivants sont vrais dans tous les cas: 



La dérivée d'une fonction entière de genre p est elle-même de genre p. 



La somme de deux fonctions entières de genre p ne saurait être de genre supé- 

 rieur à p. 



Laguerre a démontré le jjremier de ces théorèmes en supposant (jue la fonction 

 donnée n'admet qu'un nombre limité de racines imaginaires '). Mais pour le cas 

 général, on ne possède aucune démonstration. 



En ce qui concerne le second théorème, les résultats de M. Hadamard et la 

 proposition que nous avons établie p. 47 permettent d'affirmer qu'il est exact dans 

 des cas très étendus. Mais en fait ce théorème souffre des exceptions, et c'est ce 

 que nous allons montrer sur un exemple particulier aussi simple que possible, dont 

 on aperçoit d'ailleurs des généralisations immédiates. 



Soit la fonction de genre zéro: 



(45) 



/■(*■) =ni 



1+ t'^ 



n (log n) 



oi^i l<a<2. Nous allons faire voir que In somme f ir) -{■ f i- .'■) est de genre un ^). 

 Désignons par + «i , + «2, ' ■ • > + "„ - • • ' le« zéros de la fonction /'(./■) + /'(— x-i. 

 rangés par ordre de modules croissants, et écrivons 



f{x) + f{-x) = (pix''); 



(fix) sera une fonction entière admettant les zéros ''„ = «^ (w = l,2,---)- 



Cela posé, en nous bornant désormais aux valeurs réelles et positives de la 

 variable x, nous trouvons, d'après la formule (b) du n" 24, 



f(x) = e 



X (log x)^ 



Må 



') Comptes rendus, t. XCVIII; 1884; Oeuvres complètes, t. I, p. 178. Voir aussi: E. Borel: 

 Leçons sur les fonctions entières, Chapitre II. 



-) Ce dernier point et quelques-uns des théorèmes généraux établis dans le cours de ce 

 travail ont fait l'objet d'une Note insérée aux Comptes rend-us de l'Académie des Sciences de Paris 

 du .30 décembre 1901. A la suite de cette communication, M. Pierre Boutroux a fait connaître, 

 dans des Notes successives (Comptes rendus, 1902, nos 2, 3 et 9) des résultats nouveaux très in- 

 téressants auxquels il est arrivé dans ses recherches sur les fonctions entières, et dont quelques- 

 uns ont rapport à la question traitée ci-dessus. 

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