78 Ernst Lindelöf. 



et d'autre part, par une discussion tout élémentaire, 



Le module maximum de la fonction y (a?), lequel est atteint pour les valeurs positives 

 de X, peut donc se metti'e sous la forme 



et par suite nous pouvons conclure du théorème du n» 14 que le rapport 



reste compris entre deux limites finies et positives, quel que soit n. 



Comme « — 1 < 1 , la série 2j — I est donc divergente, et par conséquent le 

 genre de la somme f ix) -\- f {~ x) est bien égal à un, coamie nous l'avions avancé. 



L'exemple que nous venons de traiter conduit encore à des conséquences 

 intéressantes relatives au problème de la détermination du genre d'une fonction 

 entière définie par une série donnée. 



Soit en effet 



f(:x) = Y,c„x 



le développement de Taylor de la fonction (45); on aura, d'après le dernier théorème 

 de la p. 45, (juelque petit que soit le nombre positif «, 



f^ — ^- n (log n) 

 à partir d'une valeur finie de n, et d'autre part 



1-ï 



yc„> 



" ~ 1 n (log nf ' 



pour une infinité d'indices n. Mais à cause de la distribution régulière des zéros 

 de la fonction considérée, on peut présumer que la seconde de ces inégalités sub- 

 siste, comme la première, à partir d'une valeur finie de n, de sorte qu'on pourra 

 écrire simplement 



T. XXX.1. 



