Mémoire sur la théorie des fonctions entières. 



(46) t/c = 



>' n a~l n (log n)" ~ ' 



£]n admettant cette conclusion, dont l'exactitude n'est pas douteuse, mais dont 

 il ne semble pas aisé de trouver une démonstration directe, on voit d'abord que, 



bien que In fonction donnée soit du genre zéro, la série S j/c^ n'en est pas moins di- 

 vergente. C'est là un exemple du fait que nous avions annoncé (d'ailleurs en des 

 termes un peu trop afflrmatifs) à la fin de la première partie de ce Mémoire. 



D'autre part nous ferons observer (lue la formule (46) convient également aux 

 coefficients de certaines fonctions de genre un, p. ex. (1 +x) [f (x) + f (— x]] . On voit 

 donc que, dans certains cas, le genre d'une fonction définie par tme série donnée dépend, 

 non pas de l'ordre de grandeur des coefficients de cette série, mais de leurs propriétés 

 analytiques. 



Cette remarque est propre à montrer les difficultés que peut présenter le 

 problème en question, puisqu'il en résulte qu'on est réduit, dans certains cas, à la 

 recherche directe des zéros de la série donnée. 



Quel est p. ex. le genre de la fonction (55) envisagée à la p. 44? Il nous 

 semble bien probable qu'il soit le même que pour les fonctions 



tipnJollpV) f ^P = "" «"*^'«'' 'l^elconque > 1) , 



c'est à dire égal à un. Il y aurait un certain intérêt théorique à le démontrer 

 directement, puisqu'on aurait alors un exemple où la série (59) de la p. 48 converge, 

 bien que la fonction donnée (56) soit du genre p. Mais la démonstration ne doit 

 pas être facile à trouver. 



De la remarque faite ci-dessus, il résulte encore qm la question de savoir si 

 le genre de la dérivée d'une fonction entière est dans tous les cas égal à celui de la 

 fonction elle-même, et bien d'autres questions analogues qu'on peut se poser dans 

 cette théorie, échappent complètement aux considérations où n'intervient que l'ordre 

 de grandeur du module maximum d'une fonction entière ou l'ordre de grandeur des 

 coefficients de son développement de Taylor. 



