Die Dirichletschen Reihen, die zalilentlieoretisclien Funktionen und 

 die unendliclien Produl^te von endlicliem (jeschleclit 



§ 1 



Im Laufe der zehn letzten Jahre habe ich grössere oder kleinere Theile von 

 mehreren Arbeiten ') einer ausgedehnten, bisher nicht gebührend beachteten Klasse 

 von bestimmten Integralen gewidmet, welche man mit gutem Erfolg zur Darstel- 

 lung von Funktionen aus verschiedenen Gebieten der Analysis anwenden kann. 

 In der vorliegenden Arbeit beal)sichtige ich, den Zusammenhang zwischen den in 

 der Überschrift erwähnten Begriffen mit Hülfe von Integralen der betreffenden Art 

 von einer Seite zu beleuchten, welche bereits in meiner Arbeit. über unendlichu 

 Produkte von endlichem Geschlecht theilweise zur Sprache gekommen ist. Als neu 

 dürften der innige Zusammenhang angesehen werden können, worin gewisse der 

 genannten Produkte mit der analytischen Zahlentheorie gebracht werden, sowie die 

 allgemeinen Formeln, welche ich für summatorische Funktionen zahlentheoretischer 

 Funktionen erhalte. 



Die charakteristischen Eigenschaften der fi-aglichen Integrale werde ich zunächst 

 des Zusammenhanges halber kurz erwähnen. 



Bezeichnet F{z) eine von z =^ u -\- i v abhängige Funktion, wylclii:' sich regulär 

 verhält in der Umgebung jeder endlichen Stelle im Innei'n und auf der Begrenzung 



') Om definita integraler, hvilka hafva Uli gränser hypergeometriska funktioner af mrskilda ord- 

 ningur. Aota T. 20. — rbt:r die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien der 

 Gamma- und der hin^rriimnii-tiixchen Functionen. Acta T. 21. — Zur Theorie zweier allgcnieitieii 

 Klassen bestimmter lulninil, Ana T. 22. — Ül)er eine Verallgemeinerung der Riemannschen FitiikHan 

 ^(s). Acta T. 24 Kiur Fninid für den Logarithmus transrendenter Funktionen von endlichem Cc- 

 srhlerht. Acta T. 2i). - Über den Zusammenhang rmsehen den linearen Differential- und Differenzen- 

 gleichungen. Acta Matli. Bd. 2.0. 



