Die Dirirlilcfsclini Ecilir». die ialilenthrorclischeii Fmdiioiirn etc. 5 



wo l- eine Ijeliebige die Bedingung k<1- < ß erfüllende Constante bedeutet. Umge- 

 kehi-t kann auch eine für den Bereich (3) gültige Ungleichheit ! <l>{.r) \<C\x ~" , 

 ce<a<ß, aus diesen Formeln gefolgert werden. 



Zur vollständigen Kenntniss der Integi'ale (2) gehört überdies der innige Zu- 

 Scunmenhung, in welchem sie mit einer anderen allgemeinen Gattung von Integralen 

 der Form 



(H) 



j' (i>(,^,r' , 



stehen. Bezeichnet niimlich hier <IH.') die durch das Integral (2) delinirtu Funktion, 

 so zeigt sich, dass dieses Integral (6) für jeden innerhalb des Streifens (« < u < ß) 

 gelegenen Werth von z = u-{- iv nicht nur einen bestimmten Sinn besitzt sondern 

 auch gleich der ursprünglichen Funktion F{z) ist. Man hat also die beiden Formeln 



• (•'-■) = 2^ j Fi^) -^-^ dz, - «^ < < + ^ , 



(7) ^ '"^ u<a<ß, 



F{z)= f (1> (x) jf~W.lx , a<di{£)<ß. 



{x — X c ) . 



Soll <l>{-r) die fundamentale Ungleichheit (4) befriedigen, so nuiss .'■ im allge- 

 meinen auf den engeren Bereich (3) beschränkt werden, wo s eine zwar Ijeliebig 

 kleine aber constante Grösse bezeichnet. Dies ist ein wichtiger, l;iei allen weiteren 

 Specialisirungen zu beachtender Umstand. 



Zwischen den Formeln (7) besteht zugleich eine vollständige Eeciprocität, d. h. 

 aus der letzteren kann auch die erstere gefolgert werden, wenn man von (Ü{x) Fol- 

 gendes annimmt: In dem durch die Ungleichheiten (3) definirten Bereich verhält 

 sich Ö>(a;) überall (die Punkte .'■ = o und « = oo eventuell ausgenommen) regulär 

 und besitzt bei beliebiger, innerhalb desselben Bereiches stattfindender Annäherung 

 von .'■ an die Stellen x = o und ./■ = oo die beiden Eigenschaften (o). 



Die aus (7) sich ergeljenden Formeln 



