Die Dinchletschen Beiken, die zaiilentheoi-etischeii FunMionen etc. 9 



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(15) 'l'[o:)=^f{n)0{u.,x) 



n = 1 



definirt ist. Zur Gültigkeit dieser Formeln (14) ist indess erforderlich, dass der in 

 (7) erwähnte Parallelstreifen «<'^(z)<ß und die Halbebene, welche den Conver- 

 genzbereich der Reihe S {z) darstellt, einen gemeinsamen Theil haben. Auf diesen 

 Theil hat man die Veränderliche z des zweiten Integrals sowie den Integrationsweg 

 des ersten zu beschränken. — Durch die Annahme ü* (./0 = e--= ergeben sich die 

 Formeln (13) als Specialfalle von (14). 



Da man, falls die eine von zwei reciproken Formeln (7) bekannt ist, die andere 

 nach Analogie der obigen Beispiele unmittelbar hinzudenken kann, so genügt es 

 weiterhin nur eine derselben anzuführen. 



Bezeichnet T{n) die Anzahl und S{n) die Summe aller Theiler von »j, so hat 

 man bekanntlich 



(16) f^^(^)-i^=5;^'- 



CO 



(17) i;[z)t{z-\)^y^, 



Setzt man diese Ausdrücke in (13) ein, so bekommt man die Formeln 



(18) Z^(^)^~''^=4 riz)[C{s)f.r-^, 



»=1 „J^,a. l<«<+00. 



V 1 "V — 4<e< + 4- 



(19) Z*'(^)^""^= 9.r; r(^)f(^)C(^-l).x-.fe. 



,r"^l ,.-,a> 2<«<+X. 



Für die linken Seiten von (18) und (19) hat man aucli die bekannten Ausdrücke 



'■C QO 00 XI 



« = 1 n = 1 ,1 = 1 „ = 1 



Setzt man in (14) 



Fiz) = r(z) ris - ,) , (.-) = ^^ 



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