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und a„ = >!, öo ergeben sich, je nachdem f{n) gleich 1, T{n) oder S{ii) angenom- 

 men wird, die Formeln: 



(20) ^^^'^Iji^nxr'^'éri i r (^) T (s-z) i (e) ,-^ d, , l< « < 5R (.) . 



(21) ^'<^)S(r^St = i / ^^(^)^'(*-^)[^'(^)f'-^^^' 1<«<9Î(.), 



(22) /'(,.) ^ ^j '^^'^^,^, = ^2-^ J I'ie) ris-e) ü^) C(---l) x- «^^ , 2 < « <3Î (,) . 



Während die Integrale (18) und (19) nur in der Halbebene — ^ < e < + -j con- 

 vergent sind, so convergiren die drei letzten Integrale für — sr<e<-\- sr^ d. h. in 

 der ganzen x-Ebene mit Ausschluss der negativen Hälfte der reellen Axe. — Durch 

 zweckmässige Wahl der Funktion F{z) kann man überhaupt bewirken, dass dem 

 Convergenzbereiche des ersteren Integrals (14) eine die .»Ebene beliebig oft bede- 

 ckende Fläche mit den Windungspunkten .'■ = o und a- = oo geometrisch entspricht. 

 Hierzu eignen sich beispielsweise die Ausdrücke 



r(z — e,) • • . ï'i^ - e™ ) , /'(^ -?,).. . r(z — q,„) r{r,, -z)... j\6„ — z) . 



Ihr hauptsächlichstes Interesse aber erhält die erstere Formel (14) wegen der 

 überaus grossen Menge asymtotischer Formeln, welche daraus für Reihen der Form 

 (15) herfliesst. In meiner in Acta T. 29 enthaltenen Arbeit habe ich nachgewie- 

 sen, dass es sehr ausgedehnte Gattungen DiKiCHLETscher Reihen mit den nachfolgen- 

 den Eigenschaften giebt. Die durch eine Reihe der betreffenden Art definirte Funk- 

 tion S {z) existirt in der ganzen ^'-Ebene, wo sie sich überall im Endlichen wie eine 

 rationale Funktion verhält, und besitzt überdies die beiden folgenden Eigenschaften: 

 In jedem zur imaginären Axe parallelen Streifen von endlicher Breite findet sich 

 höchstens nur eine endliche Anzahl Pole von S(^r), und in jedem solchen Streifen 

 convergirt S (z) e-^ i -' i bei wachsendem 1 z \ gegen die Null, wie Mein auch die posi- 

 tive Constante s angenommen iverden mag. — Die einfachste unter diesen Funktio- 

 nen S(^) ist die für die Zahlentheorie fundamentale Funktion C(^). 



Verhält sich nun auch die zweite in (14) vorkommende Funktion F{z) in jedem 

 zur imaginären Axe parallelen Streifen von endlicher Breite ähnlich wie S(^), wäh- 



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