Die Dinehletsclien Reihen, die zaldentlieo ref indien Funktionen etc. 11 



rend sie für unendlich grosse, dem betreffenden Streifen angei^iörige Werthe von 

 z = K -\- iv auf die f^orni 



F{t) =,-'^^ '/•(»,«), 



gebracht werden Icann, wo ^ und /' die in § 1 angegebene Bedeutung haben, so kann 

 der Integrationsweg des ersteren Integrals unter Berücksichtigung des C'AUCHYSchen 

 •Satzes beliebig weit in der negativen Richtung der reellen Axe verschoben werden, 

 ohne dass das Inte'r^ral aufhört, in jedem endlichen Theile des durch .die Ungleich- 

 heiten 



_ (^ _ f) < e < + (^ _ î) 



definirten Bereiches von x—^x\ e"-* gleichmässig zu convergiren. Die Summe der 

 zu den passirten Polen des Integranden gehörigen Residuen stellt alsdann die Reihe 

 (15) für Meine Werthe von x asymtotisch dar, während das Integral mit dem neuen 

 Integrationswege das Restglied repräsentirt. Das Verhalten dieses Gliedes bei wach- 

 sendem X ] kann auf Grund der fundamentalen Ungleichheit (4) heurtheilt werden. 

 Aus (21) erhält man beispielsweise die asymtotische Entwickelung 



(23) r(6-)2] l^%ry = - ^'(«-0 \H^ (1) + </' (•« - I) + log A ..-' 



welche für den Bereich — .T + 6<e<-f» — « gilt. Das Restintegral besitzt für 

 diesen Bereich die Eigenschaft lim x-''^'^^^ J{x;u) = o, wo ö eine beliebig kleine 

 positive Zahl. 



Ein weiterer interessanter Umstand, welcher sich an die erstere Formel (14) 

 anknüpft, ist der, dass man mit deren Hülfe in zahlreichen Ausnahmefällen nach- 

 weisen kann, dass die durch die Reihe (15) definirte Funktion U^{x) ausserhalb des 

 Convergenzbereiches der Reihe existirt. Dies wird am besten durch ein paar Beispiele 

 verdeutlicht. 



Betrachten wir die Formel 



(24) Yj *~ " '^' = ^ / ^^ ^^ ^ (""^^ (''^'^" ' ''^ ' I < « < + ^ ' 



N:o 2. 



