12 Hj. Mellin. 



so ist die linke Seite für x — 2 gieicii der von Riemann benutzten Funktion ip (x). 

 welche bekanntlich ausserhalb des Convergenzbereiches der Reihe nicht existirt. 

 Um so hemerTcensiverther ist es daher, dass die Reihe (24), falls x ein echter Bruch 

 ist, in eine beständig convergirende Potenzreihe von x entwickelt werden Icann. Mit 

 Hülfe der Funktionalgleichungen von r{z) und ^(^z) findet man nämlich unter der 

 genannten Annahme, dass das Integral (24) für jeden endhchen, in der Halbebene 



— ^ < < + 2 gelegenen Werth von ./■ sich der Grenze Null nähert, wenn der 



Integrationsvveg ohne Ende in negativer Richtung verschoben wird. Unter Berück- 

 sichtigung des CAUCHYSchen Satzes ergiebt sich also 



00 oc 



(25) ^ e-''"''' = r[l + l)(^T)- ^ +^(-ir^-^^~^'^{^x)\ o<x<l. 



Die rechte Seite, welche wegen x< 1 als eine beständig convergirende Potenzreihe 

 erkannt wird, liefert als solche die analytische Fortsetzung der linken Seite für alle 

 Werthe von x. 



In ähnlicher Weise findet man für die linken Seiten der Formeln 



(26) S^("^^~'""= 2^^ / ''i^)\^(''^)f^-'d^' 



wenn x die Bedingung o<x<-^ erfüllt, die beständig convergirenden Reihen: 



^ r T 1 



2;T(«)e-""'^.r(i + l)[iv^(i)-2^(l)J..-T 



(28) 



^rfi + iV-^-^-^--"f^-^-^^^ 



^-^l^.r^^ 



