14 Hj. Mellin. 



wo 



(33) S(.) = |^. 



Hierbei muss vorausgesetzt werden, dass es sicli um solclie Produlcte 11 (x) liandelt, 

 in denen die Grössen a„ = •a„\e"" die Bedingung erfüllen 



(34) — ;r <— y<H„ < + ^< + .T «=1,2, -X) , 



unter i> eine reelle nicht negative Zahl verstanden, welche kleiner als .t ist Unter 

 dieser Voraussetzung (34) stellt alsdann die obige Fonnel (32) in dem durch die Un- 

 gleichheiten 



(35) _ (^ _ ^) < e < 4- ( .TT — ^) 



charaMerisiiien Bereiche von x = jj^je*" den Logaritlimus von 11 (a) dar. 



Bezeichnet man mit / den Convergenzexponenten von S (*) und ist diese Grösse, 

 welche bekanntlich die Bedingung j) < ^<j) + 1 erfüllt, kleiner als^y + l, so kann 

 der Integrationsweg von (32) zwischen l und p -\-\ verlegt werden, wodurch sich 

 ergiebt 



(32, bis) log n (./■)= „^. / ^-^{z)--dz = J{x;a). l<a<p + \. 



Setzen wir weiterhin, wie es bei den in der Zahlentheorie auftretenden Diri- 

 CHLETSchen Reihen meistens der Fall ist, die Grössen a„ als reelle positive Zahlen 

 voraus, so ist ^ = o, d. h. der Convergenzhereich des Integrals (32) ivird alsdann durch 

 die ganze .r-Ebene, mit Ansschluss der negativen Hälfte der reellen Axe, geometrisch 

 dargestellt. 



Die Formel (32) vermittelt nun offenbar einen bemerkenswerthen Zusammen- 

 hang zwischen den DiRiCHLETSchen Reihen (38) und den unendlichen Produkten von 

 endlichem Geschlecht (31). Ihr hauptsächhchstes Interesse erhält sie — ähnlich wie die 

 erstere Formel (14) — wegen der unzähligen asymtotiscken Formeln, welche daraus 

 erhalten werden können. Gehört nämlich S {z) der allgemeinen, in § 3 bei Gelegenheit 

 der Formel (14) charakterisirten Gattung solcher DiRicHLETSchen Reihen an, weiche 

 ausserhalb ihrer Convergenzbereiche analytisch fortgesetzt werden können und die 

 übrigen in § 3 angegebenen Eigenschaften besitzen, so kann der Integrationsweg von 

 (32) unter Berücksichtigung des CAUCHYSchen Satzes in negativer Richtung beliebig 

 weit verschoben werden. Die Summe der zu den passirten Polen des Integranden 



T. XXXI. 



