Die Diriehletschen Reihen, die zahlentlieoretischen FunMionen etc. 15 



gehörigen Residuen stellt dann den Logarithmus von 11 (./•) für grosse Werthe von x 

 asymtotisch dar, während das Integral mit dem neuen Integrationswege das Rest- 

 glied repräsentirt. Das Verhalten dieses Gliedes bei wachsendem \x\ giebt die im 

 Bereiche — (a- — *) < < -(- (« — s) gi:iltige fundamentale Ungleichheit 



(36) 



J{.r;a)\<C(a,s) •x 



an, wo s eine zwar beliebig kleine aber constante positive Grösse bezeichnet. Das 

 Verhalten des Produktes 11 (.r) im Unendüchen hängt also ab von dem Verhalten 

 der Funktion S (£•) ausserhalb des Convergenzbereiches der Reibe (33). 



Die soeben angegebene Bedeutung der Formel (32) ist schon in meiner früheren 

 Arlieit (Acta T. 29) umständlich besprochen worden. Ich gehe nunmehr zur zah- 

 lentheoretischen Bedeutung derselben über. 



Ich setze voraus, dass S (z) eine Reihe der oben angegebenen Art bezeichnet. 

 Durch Verschiebung des Integrationsweges in negativer Richtung ergiebt sich eine 

 Gleichung der Form 



(37) log n (./■) = Rix)-{-J{x;h), h<a 



wo R {x) die Summe der Residuen bezeichnet, welche zu den zwischen den Integra 

 tionswegen 3Î (^) = a und 3î (^) = & gelegenen Polen des Integranden gehören. Es 

 verdient besonders beachtet zu werden, dass J{x;h) bei wachsendem \x\ von klei 

 nerer Ordnung ist als die sämmtlichen Glieder der Summe R {x). Man findet näm 

 lieh leicht, dass jedes Glied von R {x) eine Potenz von x enthält, deren Exponent ') 

 grösser ist als h, während J {x;h) nach der fundamentalen Ungleichheit (36) von 

 kleinerer Ordnung ist als \x\' . 



Die reellen positiven Grössen a„ seien so geordnet, dass a„<rt„ + i, n = 1, 

 2,...,cc. Substituirt man in (37) das eine Mal .r = ^ f^'' ~ *^ ', das andere Mal 

 x — ge '" ^'^ , so ergiebt sich durch Subtraktion eine Gleichung, deren einzelne 

 Theile bei abnehmendem * gegen bestimmte endliche Grenzwerthe convergiren. 

 Nehmen wir nämlich ? zwischen n„ und a„ + i an, so ist 



lim log - —^"b^y. = - "^ ' ^f^^^ + ^'(-) + • • • + ^'('^)] ' 

 f = o n (ç e ) 



') Diese Exponenten sind reelle. Zahlen, falls die Pole von S(x') alle auf der reellen Axe 

 iegen, was in der Tliat mit den oben beabsichtigten DluiCHLETScheu Reihen der Fall ist. 



