Die Dirichletsclien Reihen, die zohlenfhcorctisehon Funktionen etc. 17 



(41) -U r S(-')^^fe = lim V . f S(^-) ^-^^ 



einen bestimmten Sinn hat oder nicht, während die Erörterungen von Halphen nur 

 dann stichhaltig sind, wenn dieses Integral einen bestimmten Sinn besitzt, vvas 

 indess ausserhalb des Convergenzbereiches von S (z) nur ausnahmsweise der Fall 

 sein kann. Zu Gunsten unserer Methode spricht noch die Aussicht, dass die Formel 

 (40) als Ausgangspunkt für weitere, die Ordnung von g (q) betreffende Untersuchungen 

 dürfte dienen können. 



§5. 



Als Beispiele zu den Erörterungen des vorigen Paragraphen betrachten wir die 

 beiden Produkte 



(42) n,(,.)=n (l + n)^" 



1 ' 



(43) 



,„.,= n|(..:)^-^^<^'r'"' 



wo T{n) dei Anzahl und S(n) die Summe aller Theiler von n l)ezeichnet. 



Nach der allgemeinen Formel (32, liis) hat man auf Grund der Ijeiden Formeln 

 (16) und (17): 



(44) 'ogn,(.) = ^ / £^\i(^)?iäz = J,ir;a), r<a<2, 



(45) 



log n^ (x) = ^ j ^.^^ c (z) fc (^ - 1 ) -^- ds = J^ (r ;a), 2<a<d. 



Hieraus ergeben sich unter Berücksichtigung des GAUCHYSchen Satzes die asymto- 

 tischen Entwickelungen : 



(46) log n, (,r) = /,'i (r) + .7i (.r; rr) , — 2 /,• - 1< a < 2 Ä: + 1 , 



(47) log n., (./■) ^ h'., (.'•) + J. {.>■: rt) , — 00 < a < o , 



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