Die Diriclilci.schcii Reihen, die zahlentheoreliselien Funktionen etc. 



2] T (v) = n log n + (2 A' - 1) n + {\/n) , 



> ,S{r) = ^'^n'+ O(«logw), 

 1' 1 



so bestätigt die erstere liinsichtlich der Ordnung von (ji (q) die im vorigen Para- 

 graphen motivirte Vermutung, während die letztere damit nicht im Widerspruch 

 steht, da (n log n) eine Grösse bezeichnet, welche höchstens von der Ordnung n log n 

 ist. Unsere Formel (51) deutet aber an, dass sie wahrscheinlich nur von der Ord- 

 nung n ist. 



§6. 



Wir kehren wieder zu der allgemeinen Aufgabe zurück, einen Ausdruck für 

 die summatorische Funktion einer gegebenen Zahlentheoretischen Funktion zu ermit- 

 teln. Diese Aufgabe ist durch die Formeln (38), (39), (40) wenigstens theoretisch 

 gelöst worden, obwohl die sehr wesentliche Frage nach der Ordnung von g (q) künf- 

 tiger Untersuchungen bedürftig ist. Eben deshalb dürfte der Umstand ein gewisses 

 Interesse beanspruchen können, dass diese Formeln keineswegs alleinstehend sind, 

 sondern dass es vielmehr unendlich viele Integrale der in § 1 charakterisirten Art 

 giebt, von denen g {q) als Grenzwerth dargestellt werden kann. 



Zar Erzeugung solcher Integrale eignen sich besonders die hypergeometrischen 

 Integrale : 



]■ 



y'(~ - t'i)--- r (^ — Q„.) X-' dz , 



~ j r{z - Pi) • • • /'(? - e,„) r{6, -z)--- r(6„ - s) x-^ dz . 



Bei dieser Gelegenheit werden wir nur das einfachste unter ihnen 

 (52) JÇe;a)= ^. j r{z).r-^dz 



