Die Dirichletttchen Reihen, die zahlentheo refit' chen Fimktionen etc. 21 



Schäften besitzt, so kann der Integrationsweg vor dem Orenzühenjange unter Berück- 

 sichtigung des CAüCHYSchen Satzes in negativer Richtung verschoben werden. Durch 

 Wiederholung der in § 4 angestellten Erörterungen gelangt man auch jetzt zu der 

 Formel 



(58) ^ /■(>') = '■(.'•) + ^0'-). 



a„<x< a„ 



wo r ix) eme aus Potenzen von x und log x gebildete endliche Summe bezeichnet, 

 während g {x) bloss als G renzwerth definlrt ist : 



,59) ,(..) = lin:^^^-^/ r(l+^)s(.).^f , Kl. 



Die Vermutung, dass g (x) wahrscheinlich von geringerei' Ordnung als r {x) ist, kann 

 ähnhch wie in § 4 motivirt werden. 



Da aus den bei der Herleitung von (58) anzustellenden Erörterungen die Exi- 

 stenz des Grenzwerthes (59) unmittelbar einleuchtet, so sind dieselben von dem 

 Umstände unabhängig, ob das Integral 



;. + i rr. b + ih 



2-T? J ^ ' z „ = ^ 2sn J ^ ^ z 



einen Sinn hat oder nicht. 



Es verdient beachtet zu werden, dass die Berechnung des Ausdruckes r(x) 

 sich hier einfacher gestaltet als in § 4, weil der Integrand in (.55) bei hinreichend 

 grossem m keine anderen Pole zwischen den Integrationswegen 9Î (^) = a und 



'Si(z) = h besitzt als diejenigen des Ausdruckes — '^(ß): Es lässt sich ohne Mühe 



zeigen, dass r{x) einfacli. gleich der Summe der Residuen ist, welche zu den zwischen 

 den genannten Geraden gelegenen Polen dieses Ausdrucl-es gehören. — Hiermit ver- 

 gleiche man die verwandte Methode von Halphen. 



§7. 



Nehmen wir zweitens au, dass a in dem Integrale (52) einen zwischen den 

 negativen ganzen Zahlen —h und — (Z-+ l) gelegenen Werth besitzt, so ist 

 N:o 2. 



