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Die rechte Seite von (61) besitzt otfenbar die Eigenschaft, dass sie sich der 

 Grenze Null nähert, falls der Integrationsweg oline Ende in negativer Riclitung ver- 

 schoben wird. Mit Hülfe des CAUcHYSchen Satzes ergiebt sich also für (61) eine 

 neue Reihenentwicklung. Setzt man dieselbe in (63) ein, so hat man die Formel 



(64) y /■(") = lim I k y -^^x^ S (■»"') ■r'"" . 



V 1 r-. 1 I 



fl.^ < x < a ^ ^ j . 



Der einfachste Fall tritt ein, wenn Ä- = o angenommen vird. Die obigen For- 

 meln (61), (63), (64) nehmen alsdann die folgenden Formen an: 



CO l X\m fi + ioo 



(65) ^/■(,î)ji_p~k) j = _ ^^, J r{:)H{-mz)x-"-'dz, 



(66) ^f{v) = - jini^ ^Li i ^' (^) S (- m^) ^- '"' dz , 



— 1 < a < o , a^ < j^ < « ^ ^ I . 



(67) y /•(,') = lim y ^-^; s (mr) x'"" , a<x< «„_,,. 



Die letzte Formel ist als Herrn Helge von Koch zugehörig anzusehen. In 

 seiner Arbeit Sur la distribution des nombres premiers (Acta Math. Bd. 24) wendet 

 er nämlich mit bemerkenswerthem Erfolg einige Specialfälle von (67) an. Dass die 

 Methode, wodurch er dieselben erhält, auch zu der allgemeinen Formel (67) führt, 

 kann Herrn von Koch natürlich nicht entgangen sein, obgleich er die Allgemeinheit 

 seiner Methode nicht ausdrücklich hervorhebt. Die Übereinstimmung der beiden in 

 (65) und (67) vorkommenden Reihenentwicklungen kann in der That auch ohne Zu- 

 hülfenahme des obigen Integrals erwiesen werden, worauf sich die Formel (67) 

 ergiebt, indem man m-^cc setzt; und dies ist eben die Methode des Herren von 

 Koch. 



Der oben hervorgebrachte Zusammenhang dieser und aller vorangehenden Ent- 

 wicklungen mit den betreuenden Integralen scheint vor allem deshalb nicht un- 



