28 Hj. m ULI, in. 



cher fhis hetrcffcnde Integral eine eiii<lenfi<ie und rri/vlär sirli verhaltende Fnvliion 

 von 8 darstellt. Die ganze Untersuchung \vii\l hiernach auf eine Discus.sion der zu 

 den passirten Polen des Integranden gehörigen Residuen zurückgeführt und diese 

 Residuen lassen sich durch die beiden Funktionen r{s) und S (s) in einfacher Weise 

 ausdrücken. Verschiebt man den Integrationsweg so, dass a einen Werth zwischen 

 den negativen ganzen Zahlen — {m + 1) und — m erhält, so ergiebt sich nach Divi- 

 sion mit r{s) : 



(S7) S , {s . n-) = ( - !)'■■ ^ (-1 )" • ' f s (, + 1 )...(,.+ ,.- 1 ) S (,s' + r) + ^' ^' ' "^ 



lis) 



(88) S, (.. , <r) = 2, <-- 1) "^ ^ (* + 1) • • ■ (.^' + .' - 1) S (*■ 



^1 ■■'■rVmSr^^..-n+^';w'. -0»+..^"--». 



wo /i und /2 »lie res]). Integrale (83) und (86) liezeichnen, während die C durch (85) 

 detiuirt sind. 



Aus diesen Formeln geht nun sofort die liiclitigkeit der früheren Behauptung 

 hervor, dass man die Beschaffenheit der Funktionen S_j. und S^. genau ermitteln 

 kann, wenn die der Funktion S bekannt ist. 



Die folgenden Umstände verdienen besonders beachtet zu werden. 



Weil der Ausdruck ./' ir'^ für »• = o , 1 , . . . , Z- — 1 identisch verschwindet, so 

 zeigt die Formel (87) . dass sich ilie Funktion S_,. an jeder Stelle der s-Ebene regu- 

 lär verhält, welche für keinen der unendlich vielen Ausdrücke 



*■ (s + 1) • • • (.v -f I' - 1) S (ä + 1') , ,' = k,k+l....,=c 



eine singulare Stelle ist, wobei zu den singulären Stellen auch alle ausserhalb des 

 Existenzbereiches der betreffenden Funktion liegenden Punkte zu rechnen sind. Ver- 

 hält sich also S regulär an jeder endliche Stelle der Halbebene 9î (s) > L , so verhält 

 sich S_^ ebenso in der Halbebene di{s)>L — k, wobei nicht ausgeschlossen ist, 

 dass sich S_j, in einer noch ausgedehnteren Halbebene regulär verhalten kann. 



Aus der Formel (88) ergiebt sich, dass die Funktion 8^. an jeder Stelle der 

 S-Ebene regulär verhält, welche für keinen der Ausdrücke 



Si*JZ_''j=J) _ , , , 



{s-l){s-B)...{s-r-l) r-0,l,...,Ä-l, 



T. XXXI. 



