Dic^ J>/r/rhlrtsrlir,i h'r/lini. dir lahlrnfhcorrflsrliri, Fuiihiioum rie 



s{s+ l)---(.^+.'— l)S(^ + r) r = 0,l,2 œ 



eine singulare Stelle ist. Insbesondere verhalt sich also S^, regulär an jeder end- 

 lichen Stelle der Halbebene 3Î (s) > i + >!■ . 



Will man die Beziehungen zwischen den oben genannten Halbebenen ganz genau 

 ausdrücken, so ist es nöthig gewisse reelle Grössen L^ für /u = o, ± 1 , ± 2, . . . , + co 

 durch die folgenden Bedingungen zu definiren : Im Innern der Halbebene 9î (s) > L^ 

 giebt es Iceine, im Innern der Halbebene 91 (s) > L^ - f dagegen mindestens eine sin- 

 gulare Stelle der Funktion S^ , wie klein auch die positive Grösse e angenommen 

 wird. Alsdann ist L,, höchstens (jleich L — l- : 



L_^<L — -k. 



während L^, im nllgemcinen gleich der grösseren der beiden Zahlen L + Z- und /■ 

 ist. Hierbei hat L dieselbe Bedeutung für S(.ç) wie L^ für S^(s,?^;). 



Dass L^, im allgemeinen entweder gleich L -\-l oder gleich Ic ist, folgt leicht 

 daraus, dass die Constante C^S^^^ in der Formel (88) einen von Null verschiedenen 

 Werth hat, was wiederum aus (84) und (85) zu entnehmen ist. Ein Ausnahmefall 

 tritt indess ein, wenn L < o und gleichzeitig S (o) = o . Denn alsdann ist s = /,■ 

 keine singulare Stelle für S^. und deshalb L^.<'k . 



Die Grösse L welche mit dem Convergenzexpo7ienten l^ der Reihe S„ im all- 

 gemeinen nicht verwechselt werden darf, erfüllt offenbar die Beziehung 



L.. < l. 



îeispielsweise ist für die Reihe 



s- 



1=1, während L = — co ist. 



Eine interessante, die beiden Funktionen 



S(.v,/r) und S (s) = S (.V , o) 



betreffende Bemerkung darf in diesem Zusammenhange nicht unerwähnt gelassen 

 werden. Diese Reihen l)esitzen offenbar denselben Convergenzexponenten. Mit Hülfe 

 der Formel (87), wo Z- = o und ./%/■" = tc* zu setzen ist, folgt weiter, dass sich 

 S («,«•) an jeder inneren Stelle der Halbebene ^{s)>L regulär verhält, weil dies 

 N:o 2. 



