Die Dinchletschen Reihen, die znhlentheoietischen Fnnhtionen etc. 



§9. 



In diesem Paragraphen werde ich eine mit den vorangehenden Integralen eng 

 verbundene Methode entwickeln, nach welcher man asymtofischc Ansdrücke für Sum- 

 men der Form 



5]s( 



S, W + (') 



in allen Fällen erhalten kann, wo S(s,h') eine durch die DimcHLETsche Reihe (71) 

 définir te Funktion bezeichnet, welche ausserhalb des Convergenzbereiches der Reihe 

 existirt und die übrigen in § 3 angegebenen Eigenschaften besitzt. Gleichzeitig mit 

 dem asymtotischen Ausdrucke ergiebt sich auch für die Reihe 



S«' 



+ v) = %,(s,iv) 



eine neue Entwickelung, welche ausserhalb des Convergenzbereiches dieser Fteihe 

 convergirt und die analytische Fortsetzung derselben darstellt. 



Stellt man den Inhalt dieses Paragraphen mit den in § 10 anzuführenden 

 Verallgemeinerungen der in Betracht kommenden Integrale zusammen, so erhellt 

 ohne weiteres, dass die betreffende Methode noch einer bedeutenden Verallgemeine- 

 rung fähig ist, indem sie auch auf entsprechende vielfache Summen ausgedehnt 

 werden kann. 



Um das Charakteristische der fraglichen Methode möglichst deutlich hervortre- 

 ten zu lassen, werde ich zuvörderst den fundamentalen und einfachsten Fall betrach- 

 ten, wo es sich um die Summe 



handelt. Mit Hülfe der schon früher benutzten Formel 



(89) ,-5^\. = ^-"T '^^'^ä. Mis)>a>o, 



^ i.>:-\-i/y 2sTi J^ .,-- ■ y 



ergiebt sich 



